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Uma abordagem mais aprofundada da definição de Matemática:

A matemática é a investigação de estruturas abstractas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm origem nas ciências naturais, mais presisamente na Física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões internas á matemática, que os conduzirá a alguns cálculos comuns.


Matemática como ciência:



->Números:

O estudo de quantidades começa com os números, primeiro os familiares números naturais, depois os inteiros, e as operações aritmética com eles, que é chamada de aritmética. As propriedades dos números inteiros são estudadas na teoria dos números, dentre eles o popular Último Teorema de Fermat. A teoria dos números também inclui dois grandes problemas que ainda não foram resolvidos: conjectura dos primos gêmeos e conjectura de Goldbach.

Conforme o sistema de números foi sendo desenvolvido, os números inteiros foram considerados como um subconjunto dos números racionais (frações). Esses, por sua vez, estão contidos dentro dos números reais, que são usados para representar quantidades contínuas. Números reais são parte dos números complexos. Esses são os primeiros passos da hierarquia dos números que segue incluindo quaterniões e octoniões.

Considerações sobre os números naturais levaram aos números transfinitos, que formalizam o conceito de contar até o infinito. Outra área de estudo é o tamanho, que levou aos números cardinais e então a outro conceito de infinito : os números Aleph, que permitem uma comparação entre o tamanho de conjuntos infinitamente largos.

Números naturais, Números inteiros, Números racionais, Números reais e Números complexos
π
Aritmética Constante na matemática, Número ordinal e Número cardinal

->Estrutura:

Muitos objetos matemáticos, tais como conjuntos de números e funções matemáticas, exibem uma estrutura interna. As propriedades estruturais desses objetos são investigadas através do estudo de grupos, anéis, corpos e outros sistemas abstratos, que são eles mesmos tais objetos. Este é o campo da álgebra abstrata. Um conceito importante é a noção de vetor, que se generaliza quando são estudados os espaço vetorial em álgebra linear. O estudo de vetores combina três das áreas fundamentais da matemática: quantidade, estrutura e espaço.

Teoria de números Álgebra abstrata, Álgebra linear, Teoria da ordem, Teoria de grafos e Teoria de operadores


->Espaço:

Espaço matemático

O estudo do espaço se originou com a geometria - em particular, com a geometria euclidiana. Trigonometria combina o espaço e os números, e contém o famoso teorema de pitágoras. O estudo moderno do espaço generaliza essas ideias para incluir geometria de dimensões maiores, geometria não-euclidiana (que tem papel central na relatividade geral) e topologia. Quantidade e espaço juntos fazem a geometria analítica, geometria diferencial, e geometria algébrica.

Topologia Geometria, Trigonometria Geometria diferencial, Geometria fractal

->Transformações:

Entender e descrever uma transformação é um tema comum na ciência natural e cálculo foi desenvolvido como uma poderosa ferramenta para investigar isso. Então as funções foram criadas, como um conceito central para descrever uma quantidade que muda com o passar do tempo. O rigoroso estudo dos números reais e funções reais são conhecidos como análise real, e a análise complexa a equivalente para os números complexos.

A hipótese de Riemann, uma das mais fundamentais perguntas não respondidas da matemática, é baseada na análise complexa. Análise funcional se foca no espaço das funções. Uma das muitas aplicações da análise funcional é a Mecânica quântica. Muitos problemas levaram naturalmente a relações entre a quantidade e sua taxa de mudança, e esses problemas são estudados nas equações diferenciais. Muitos fenômenos da natureza podem ser descritos pelos sistemas dinâmicos; a teoria do caos descreve com precisão os modos com que muitos sistemas exibem um padrão imprevisível, porém ainda assim determinístico.

Cálculo vectorial, Equações diferenciais, Sistema dinâmico, Teoria do caos

->Fundações e métodos:

Para clarificar as fundações da matemática, campos como a matemática lógica e a teoria dos conjuntos foram desenvolvidos, assim como a teoria das categorias que ainda está em desenvolvimento.

Entre muitas outras:

->Física matemática;

->Mecânica dos fluidos;

->Análise numérica;

->Optimização;

->Teoria das probabilidades;

->Estatística;

->Matemática financeira;

->Teoria dos jogos.